doc/ctsim-concepts.tex

   1 \chapter{Concepts}\index{Concepts}%
   2 \setheader{{\it CHAPTER \thechapter}}{}{}{}{}{{\it CHAPTER \thechapter}}%
   3 \setfooter{\thepage}{}{}{}{}{\thepage}%
   4
   5 \section{Overview}\label{conceptoverview}\index{Concepts,Overview}%
   6 In CTSim, a phantom object, or a geometrical description of the object
   7 of a CT study is constructed and an image can be created.  Then a
   8 scanner geometry can be specified, and the projection data simulated.
   9 Finally that projection data can be reconstructed using various user
  10 controlled algorithms producing an image of the phantom or study object.
  11
  12 In order to use CTSim effectively, some knowledge of how CTSim works
  13 and the approach taken is required. \ctsim deals with a variety of
  14 object, but the two we need to be concerned with are the 'phantom' and
  15 the 'scanner'.
  16
  17 \section{Phantoms}\label{conceptphantom}\index{Concepts,Phantoms}%
  18 \subsection{Overview}\label{phantomoverview}\index{Concepts,Phantoms,Overview}%
  19
  20 CTSim uses geometrical objects to
  21 describe the object being scanned: rectangles, triangles, ellipses,
  22 sectors and segments.  With these the standard phantoms used in the CT
  23 literature (the Herman and the Shepp-Logan) can be constructed.  In fact
  24 CTSim provides a shortcut to construct those phantoms for you.  It also
  25 allows you to write a file in which the composition of your own phantom is
  26 described.
  27
  28 The types of phantom elements and their definitions are taken from Herman's 1980
  29 book\cite{HERMAN80}.
  30
  31 \subsection{Phantom File}\label{phantomfile}\index{Concepts,Phantoms,File}
  32 Each line in the text file describes an element of the
  33 phantom.  Each line contains seven entries, in the following form:
  34 \begin{verbatim}
  35 item cx cy dx dy r a
  36 \end{verbatim}
  37 The first entry defines the type of the element, one
  38 of {\tt rectangle}, {\tt ellipse}, {\tt triangle}, {\tt sector}, or {\tt segment}.
  39 {\tt cx}, {\tt cy}, {\tt dx} and {\tt dy} have different meanings depending on the element type.
  40
  41 {\tt r} is the rotation applied to the object in degrees counterclockwise,
  42 and {\tt a} is the X-ray attenuation coefficient of the object.
  43 Where objects overlap, the attenuations of the overlapped objects are summed.
  44
  45
  46
  47 \subsection{Phantom Elements}\label{phantomelements}\index{Concepts,Phantoms,Elements}
  48
  49 \subsubsection{ellipse}
  50 Ellipses use dx and dy to define the semi-major and semi-minor axis lengths,
  51 with the centre of the ellipse at cx and cy.  Of note, the commonly used
  52 phantom described by Shepp and Logan\cite{SHEPP77} uses only ellipses.
  53
  54 \subsubsection{rectangle}
  55 Rectangles use
  56 cx  and cy to define the position of the centre of the rectangle with respect
  57 to the origin.  dx and dy  are the half-width and half-height of the
  58 rectangle.
  59
  60 \subsubsection{triangle}
  61 Triangles are drawn with the centre of the base at cx,cy, with a base
  62 width of 2*dx in x direction, and a height of dy.  Rotations are then
  63 applied about the origin.
  64
  65 \subsubsection{sector}
  66 It appears that dx and dy
  67 define the end points of a radius of the sector, from which the radius and
  68 the angle of the two arms of the sector are calculated.  But then
  69 orientation and centreing of the sector don't make much sense yet.
  70
  71 \subsubsection{segment}
  72 Segments are the segments of a circle between a chord and the
  73 perimeter of the circle.  This also isn't clear to me, but it appears that
  74 perhaps the distance from chord to circle perimeter, and circle radius is
  75 defined by dx and dy. Chord is always horizontal through the origin, then
  76 translated and then rotated (???).
  77
  78 \subsection{Phantom Size}
  79 Also note that the overall dimensions of the phantom are increased by 1\%
  80 above the specified sizes to avoid clipping due to round-off errors.  If the phantom is defined as
  81 a rectangle of size 0.1 by 0.1, the actual phantom has extent $\pm$0.101 in
  82 each direction.
  83
  84 \section{Scanner}\label{conceptscanner}\index{Concepts,Scanner}%
  85 \subsection{Geometries}
  86 This is where things get tricky.  There are two possible approaches.  The
  87 simple approach would be to define the size of a phantom which is put at
  88 the centre of the scanner.  The scanner would have it's bore size defined,
  89 or perhaps better, the field of view defined. Here, field of view would be
  90 the radius or diameter of the circular area from which data is collected
  91 and an image reconstructed.  In a real CT scanner, if the object being
  92 scanned is larger than the field of view, you get image artifacts.  And of
  93 course you can't stuff an object into a scanner if the object is larger
  94 than the bore!  In this model, the scanner size or field of view would
  95 be used as the standard length scale.
  96
  97 However, CTSim takes another approach.  I believe this approach arose
  98 because the "image" of the phantom produced from the phantom description
  99 was being matched to the reconstruction image of the phantom.  That is,
 100 the dimensions of the 'before' and 'after' images  were being matched.
 101 The code has a Phantom object and a Scanner object.  The geometry of the
 102 Scanner is defined in part by the properties of the Phantom.  In fact,
 103 all dimensions are determined in terms of the phantom size, which is used
 104 as the standard length scale.     Remember, as mentioned above, the
 105 phantom dimensions are also padded by 1\%.
 106
 107 The maximum of the phantom length and height is used as the phantom
 108 dimension, and one can think of a square bounding box of this size
 109 which completely contains the phantom.  Let $l_p$ be the width (or height)
 110 of this square.
 111
 112 \subsubsection{Focal Length \& Field of View}
 113 The two other important variables are the field-of-view-ratio ($f_{vR}$)
 114 and the focal-length-ratio ($f_{lR}$).  These are used along with $l_p$ to
 115 define the focal length and the field of view (not ratios) according to
 116 \begin{equation}
 117 f_l = \sqrt{2} (l_p/2)(f_{lR})= (l_p/\sqrt{2}) f_{lR}
 118 \end{equation}
 119 \begin{equation}
 120 f_v = \sqrt{2}l_p f_{vR}
 121 \end{equation}
 122 So the field of view ratio is specified in units of the phantom diameter,
 123 whereas the focal length is specified in units of the phantom radius.  The
 124 factor of $\sqrt(2)$ can be understood if one refers to figure 1, where
 125 we consider the case of a first generation parallel beam CT scanner.
 126
 127 \subsubsection{Parallel Geometry}\label{geometryparallel}\index{Concepts,Scanner,Geometries,Parallel}
 128 \begin{figure}
 129 \includegraphics[width=\textwidth]{ctsimfig1.eps}
 130 \caption{Geometry used for a 1st generation, parallel beam CT scanner.}
 131 \end{figure}
 132
 133 In figure 1A, the excursion of the source and detector need only be $l_p$,
 134 the height (or width) of the phantom's bounding square. However, if the
 135 field of view were only $l_p$, then the projection shown in figure 1B
 136 would clip the corners of the phantom.  By increasing the field of view by
 137 $\sqrt{2}$ the whole phantom is included in every projection.  Of course,
 138 if the field-of-view ratio $f_{vR}$ is larger than 1, there is no problem.
 139 However, if $f_{vR}$ is less than one and thus the scanner is smaller than
 140 the phantom, then distortions will occur without warning from the program.
 141
 142 The code also sets the detector length equal to the field of view in this
 143 case.  The focal length is chosen to be $\sqrt{2}l_p$ so the phantom will
 144 fit between the source and detector at all rotation angles, when the focal
 145 length ratio is specified as 1.  Again, what happens if the focal length
 146 ratio is chosen less than 1?
 147
 148 The other thing to note is that in this code the detector array is set to
 149 be the same size as the field-of-view $f_v$, equation (2).  So, one has to
 150 know the size of the phantom to specify a given scanner geometry with a
 151 given source-detector distance (or $f_l$ here) and a given range of
 152 excursion ($f_v$ here).
 153
 154 \subsubsection{Divergent Geometries}\label{geometrydivergent}\index{Concepts,Scanner,Geometries,Divergent}
 155 Next consider the case of equilinear (second generation) and equiangular
 156 (third, fourth, and fifth generation) geometries.
 157 The parts of the code  relevant to this
 158 discussion are the same for both modes.  In the equilinear mode, a single
 159 source produces a fan beam which is read by a linear array of detectors.  If
 160 the detectors occupy an arc of a circle, then the geometry is equiangular.
 161 See figure 2.
 162 \begin{figure}
 163 \includegraphics[width=\textwidth]{ctsimfig2.eps}
 164 \caption{Equilinear and equiangular geometries.}
 165 \end{figure}
 166
 167 For these geometries, the following logic is executed:  A variable dHalfSquare
 168 $d_{hs}$ is defined as
 169 \begin{equation}
 170 d_{hs} = (f_v)/(2\sqrt{2}) = (l_p/2) f_{vR}
 171 \end{equation}
 172 This is then subtracted from the focal length $f_l$ as calculated above, and
 173 assigned to a new variable $\mathrm{dFocalPastPhm} = f_l - d_{hs}$.  Since $f_l$ and
 174 $d_{hs}$ are derived from the phantom dimension and the input focal length and field of view ratios, one can write,
 175 \begin{equation}
 176 \mathrm{dFocalPastPhm} = f_l -d_{hs}
 177         = \sqrt{2}(l_p/2) f_{lR} - (l_p/2) f_{vR} = l_p(\sqrt{2}f_{lR} - f_{vR})
 178 \end{equation}
 179 If this quantity is less than or equal to zero, then at least for some
 180 projections  the source is inside the phantom.  Perhaps a figure will help at
 181 this point. Consider first the case where $f_{vR} = f_{lR} =1 $, figure 3. The
 182 square in the figure bounds the phantom and has sides $l_p$.  For this case
 183 then,
 184 \[
 185 f_l=\sqrt{2}l_p/2 = l_p/\sqrt{2},
 186 \]
 187 \[
 188 f_v = \sqrt{2}l_p,
 189 \]
 190 and
 191 \[
 192 d_{hs} = {l_p}/{2}.
 193 \]
 194 Then
 195 \[
 196 \mathrm{dFocalPastPhm} = ({l_p}/{2}) (\sqrt{2}-1)
 197 \]
 198 \begin{figure}
 199 \includegraphics[height=0.5\textheight]{ctsimfig3.eps}
 200 \caption{Equilinear and equiangluar geometry when focal length ratio =
 201 field of view ratio = 1.}
 202 \end{figure}
 203 The angle $\alpha$ is now defined as shown in figure 3, and the detector
 204 length is adjusted to subtend the angle $2\alpha$ as shown.  Note that the
 205 size of the detector array may have changed and the field of view is not
 206 used.
 207 For a circular array of detectors, the detectors are spaced around a
 208 circle covering an angular distance of $2\alpha$.  The dotted circle in
 209 figure 3 indicates the positions of the detectors in this case. Note that
 210 detectors at the ends of the range would not be illuminated by the source.
 211
 212 Now, consider increasing the focal length ratio to two leaving the
 213 field of view ratio as 1,  as in  Figure 4.  Now the detectors array is
 214 denser, and the real field of view is closer to that specified, but note
 215 again that the field of view is not used. Instead, the focal length is
 216 used to give a distance from the centre of the phantom to the source, and
 217 the detector array is adjusted to give an angular coverage to include the
 218 whole phantom.
 219 \begin{figure}
 220 \includegraphics[width=\textwidth]{ctsimfig4.eps}
 221 \caption{Equilinear and equiangluar geometry when focal length ratio = 2
 222 and the field of view ratio = 1.}
 223 \end{figure}
 224 Now consider a focal length ratio of 4 (figure 5). As expected, the angle
 225 $\alpha$ is smaller still.  The dotted square is the bounding square of
 226 the phantom rotated by 45 degrees, corresponding to the geometry of a
 227 projection taken at that angle.  Note that the fan beam now clips the top
 228 and bottom corners of the bounding square.  This illustrates that one may
 229 still be clipping the phantom, despite CTSim's best efforts.  You have
 230 been warned.
 231 \begin{figure}
 232 \includegraphics[width=\textwidth]{ctsimfig5.eps}
 233 \caption{Equilinear and equiangluar geometry when focal length ratio = 4.}
 234
 235 \end{figure}
 236
 237
 238 \section{Reconstruction}\label{conceptreconstruction}\index{Concepts,Reconstruction}%
 239 \subsection{Overview}
 240 \subsection{Filtered Backprojection}
 241 \subsection{Direct Inverse Fourier}
 242 This method is not currently implemented in \ctsim, however it is planned for a
 243 future release. This method does not give as accurate result as filtered
 244 backprojection mostly due to interpolation occuring in the frequency domain rather
 245 than the spatial domain. The technique is comprised of two sequential steps:
 246 filtering projections and then backprojecting the filtered projections. Though
 247 these two steps are sequential, each view position can be processed individually.
 248 This parallelism is exploited in the MPI versions of \ctsim where the data from
 249 all the views are spread about amongst all of the processors. This has been testing
 250 in a 16-CPU cluster with good results.
 251
 252 \subsubsection{Filter projections}
 253 The projections for a single view have their frequency data multipled by
 254 a filter of absolute(w). \ctsim permits four different ways to accomplish this
 255 filtering. Two of the methods use convolution of the projection data with the
 256 inverse fourier transform of absolute(x). The other two methods perform an fourier
 257 transform of the projection data and multiply that by the absolute(x) filter and
 258 then perform an inverse fourier transform.
 259
 260 \subsubsection{Backprojection of filtered projections}